NÚMEROS COMPLEJOS

Resolución de la ecuación x² = i . Por razones pedagógocas resuelvo en paralelo otra ecuación, en concreto x² = 4. La idea es seguir esencialmente el mismo procedimiento en ambos casos y comprobar cómo las herramientas de los números complejos permiten entender de una forma natural las raíces cuadradas. Comenzamos escribiendo i y 4 como números complejos y representándolos en el plano complejo. A continuación utilizamos la fórmula de Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ para escribir ambos números en forma exponencial. Un punto fundamental de la resolución consiste en tener en cuenta todos los argumentos posibles, añadiendo vueltas completas mediante 2πk, con k entero. A partir de ahí resolvemos x² = i y x² = 4 y obtenemos todas sus soluciones. Para x² = i obtenemos las dos raíces cuadradas de i: √2/2 + (√2/2)i y −√2/2 − (√2/2)i. Para x² = 4 obtenemos 2 y −2. Una clase de números complejos para comprender la relación entre raíces, argumentos, forma trigonométrica, forma exponencial y

Resolución de la ecuación x² = i . Por razones pedagógocas resuelvo en paralelo otra ecuación, en concreto x² = 4. La idea es seguir esencialmente el mismo procedimiento en ambos casos y comprobar cómo las herramientas de los números complejos permiten entender de una forma natural las raíces cuadradas. Comenzamos escribiendo i y 4 como números complejos y representándolos en el plano complejo. A continuación utilizamos la fórmula de Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ para escribir ambos números en forma exponencial. Un punto fundamental de la resolución consiste en tener en cuenta todos los argumentos posibles, añadiendo vueltas completas mediante 2πk, con k entero. A partir de ahí resolvemos x² = i y x² = 4 y obtenemos todas sus soluciones. Para x² = i obtenemos las dos raíces cuadradas de i: √2/2 + (√2/2)i y −√2/2 − (√2/2)i. Para x² = 4 obtenemos 2 y −2. Una clase de números complejos para comprender la relación entre raíces, argumentos, forma trigonométrica, forma exponencial y

Resolución de la ecuación x² = i . Por razones pedagógocas resuelvo en paralelo otra ecuación, en concreto x² = 4. La idea es seguir esencialmente el mismo procedimiento en ambos casos y comprobar cómo las herramientas de los números complejos permiten entender de una forma natural las raíces cuadradas. Comenzamos escribiendo i y 4 como números complejos y representándolos en el plano complejo. A continuación utilizamos la fórmula de Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ para escribir ambos números en forma exponencial. Un punto fundamental de la resolución consiste en tener en cuenta todos los argumentos posibles, añadiendo vueltas completas mediante 2πk, con k entero. A partir de ahí resolvemos x² = i y x² = 4 y obtenemos todas sus soluciones. Para x² = i obtenemos las dos raíces cuadradas de i: √2/2 + (√2/2)i y −√2/2 − (√2/2)i. Para x² = 4 obtenemos 2 y −2. Una clase de números complejos para comprender la relación entre raíces, argumentos, forma trigonométrica, forma exponencial y

Resolución de la ecuación x² = i . Por razones pedagógocas resuelvo en paralelo otra ecuación, en concreto x² = 4. La idea es seguir esencialmente el mismo procedimiento en ambos casos y comprobar cómo las herramientas de los números complejos permiten entender de una forma natural las raíces cuadradas. Comenzamos escribiendo i y 4 como números complejos y representándolos en el plano complejo. A continuación utilizamos la fórmula de Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ para escribir ambos números en forma exponencial. Un punto fundamental de la resolución consiste en tener en cuenta todos los argumentos posibles, añadiendo vueltas completas mediante 2πk, con k entero. A partir de ahí resolvemos x² = i y x² = 4 y obtenemos todas sus soluciones. Para x² = i obtenemos las dos raíces cuadradas de i: √2/2 + (√2/2)i y −√2/2 − (√2/2)i. Para x² = 4 obtenemos 2 y −2. Una clase de números complejos para comprender la relación entre raíces, argumentos, forma trigonométrica, forma exponencial y

50 ejercicios de números complejos desde cero. Dificultad progresiva, empezando desde las ideas más básicas y llegando a operaciones en forma polar, potencias, raíces y ecuaciones con soluciones complejas. Empezamos viendo qué es un número complejo y cómo trabajar con la unidad imaginaria i. Después practicamos parte real e imaginaria, representación en el plano complejo, módulo y argumento, opuesto y conjugado, inversos y operaciones en forma binómica. También trabajamos las distintas formas de expresar un número complejo: binómica, polar, trigonométrica y exponencial. Veremos productos y cocientes en forma polar, potencias mediante De Moivre y operaciones en las que aparecen números escritos de distintas formas. En la parte final aparecen ejercicios especialmente interesantes: condiciones para que un número sea real o imaginario puro, factorización de x²+4, ecuaciones con soluciones complejas, un sistema 2×2 con soluciones complejas, x⁴−81=0, raíces cuadradas de números complejos,

Resolución de la ecuación x³ = -i y obtención de sus tres soluciones complejas siguiendo un camino basado en la factorización de una diferencia de cubos. Partimos de x³ = -i y escribimos x³ - (-i) = 0. Después expresamos -i como el cubo de una de sus raíces cúbicas y utilizamos a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). De esta forma aparece un producto nulo: una de las raíces sale directamente y las otras dos se obtienen resolviendo una ecuación de segundo grado. También calculamos la raíz cúbica principal de -i utilizando su forma exponencial y la escribimos finalmente en forma binómica. Las tres soluciones de x³ = -i son: x₁ = √3/2 - i/2 x₂ = i x₃ = -√3/2 - i/2 Hay muchos caminos para resolver una ecuación. Este es uno de ellos. TIMELINE 0:00 Ecuación compleja x³ = -i 0:21 Pasar todo a un miembro | x³ - (-i) = 0 1:03 Diferencia de cubos | a³ - b³ 1:16 Raíz cúbica de -i 1:38 Escribir -i como un cubo 1:55 Factorización de diferencia de cubos 2:37 Producto nulo 3:29 Primera raíz de x³ = -

Resolución de la ecuación x³ = -i y obtención de sus tres soluciones complejas siguiendo un camino basado en la factorización de una diferencia de cubos. Partimos de x³ = -i y escribimos x³ - (-i) = 0. Después expresamos -i como el cubo de una de sus raíces cúbicas y utilizamos a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). De esta forma aparece un producto nulo: una de las raíces sale directamente y las otras dos se obtienen resolviendo una ecuación de segundo grado. También calculamos la raíz cúbica principal de -i utilizando su forma exponencial y la escribimos finalmente en forma binómica. Las tres soluciones de x³ = -i son: x₁ = √3/2 - i/2 x₂ = i x₃ = -√3/2 - i/2 Hay muchos caminos para resolver una ecuación. Este es uno de ellos. TIMELINE 0:00 Ecuación compleja x³ = -i 0:21 Pasar todo a un miembro | x³ - (-i) = 0 1:03 Diferencia de cubos | a³ - b³ 1:16 Raíz cúbica de -i 1:38 Escribir -i como un cubo 1:55 Factorización de diferencia de cubos 2:37 Producto nulo 3:29 Primera raíz de x³ = -

Resolución de la ecuación x³ = -i y obtención de sus tres soluciones complejas siguiendo un camino basado en la factorización de una diferencia de cubos. Partimos de x³ = -i y escribimos x³ - (-i) = 0. Después expresamos -i como el cubo de una de sus raíces cúbicas y utilizamos a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). De esta forma aparece un producto nulo: una de las raíces sale directamente y las otras dos se obtienen resolviendo una ecuación de segundo grado. También calculamos la raíz cúbica principal de -i utilizando su forma exponencial y la escribimos finalmente en forma binómica. Las tres soluciones de x³ = -i son: x₁ = √3/2 - i/2 x₂ = i x₃ = -√3/2 - i/2 Hay muchos caminos para resolver una ecuación. Este es uno de ellos. TIMELINE 0:00 Ecuación compleja x³ = -i 0:21 Pasar todo a un miembro | x³ - (-i) = 0 1:03 Diferencia de cubos | a³ - b³ 1:16 Raíz cúbica de -i 1:38 Escribir -i como un cubo 1:55 Factorización de diferencia de cubos 2:37 Producto nulo 3:29 Primera raíz de x³ = -

Resolución de la ecuación x³ = -i y obtención de sus tres soluciones complejas siguiendo un camino basado en la factorización de una diferencia de cubos. Partimos de x³ = -i y escribimos x³ - (-i) = 0. Después expresamos -i como el cubo de una de sus raíces cúbicas y utilizamos a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). De esta forma aparece un producto nulo: una de las raíces sale directamente y las otras dos se obtienen resolviendo una ecuación de segundo grado. También calculamos la raíz cúbica principal de -i utilizando su forma exponencial y la escribimos finalmente en forma binómica. Las tres soluciones de x³ = -i son: x₁ = √3/2 - i/2 x₂ = i x₃ = -√3/2 - i/2 Hay muchos caminos para resolver una ecuación. Este es uno de ellos. TIMELINE 0:00 Ecuación compleja x³ = -i 0:21 Pasar todo a un miembro | x³ - (-i) = 0 1:03 Diferencia de cubos | a³ - b³ 1:16 Raíz cúbica de -i 1:38 Escribir -i como un cubo 1:55 Factorización de diferencia de cubos 2:37 Producto nulo 3:29 Primera raíz de x³ = -

En este vídeo analizo una explicación sobre las raíces cúbicas de −i y explico por qué considero que la notación utilizada puede generar una confusión importante entre una raíz, las soluciones de una ecuación y la propia ecuación, aludiendo a una clase que aparece en el canal JULIO PROFE: https://www.youtube.com/watch?v=_iDW46_mDWg Partimos de una idea fundamental: buscar las raíces cúbicas de −i equivale a resolver la ecuación z³ = −i. Esta ecuación tiene tres soluciones complejas. Las calculamos desde cero escribiendo −i en forma binómica, polar, trigonométrica y exponencial, y utilizando sus argumentos 3π/2 + 2πk. Finalmente obtenemos: z₀ = i z₁ = −√3/2 − 1/2 i z₂ = √3/2 − 1/2 i El punto central del vídeo no es el cálculo de esas tres soluciones, sino la notación: ¿debemos identificar directamente ∛(−i) con el conjunto de las tres soluciones? ¿Qué diferencia hay entre una raíz concreta y todas las raíces de una ecuación? ¿Qué papel juega la raíz principal? Todo el respeto hacia J